Máximos y Mínimos

Entre los valores que puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y el otro que se el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo.

Si una función es ascendente es un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Métodos para resolver Máximos y Mínimos

Resolución Método Gráfico (explicación y ejemplo)

Sabemos que:

H=x

V=l.a.h

A= (28-2x)

H= (20-2x)

        X          Y

0                  0

1                  507

2                  840

3                  1023

4                  1080

5                  1035

6                  912

7                  735

*Tener f (x) simplificada

V= (28-2x)(21.5-2x)x

V=602x-56x²-43x²+4x³

V= 4x³-99x²+602x

1.-Obtener la derivada dv/dx donde v= volumen x=altura

12x²-198x+602

2.- Igualar la ecuación a cero

12x ²-198x+602=0

3.- Se despeja "X" con la formula general

Donde:

A= 12

B= -198

C= 602

4.- Sustituir fórmula original con los dos resultados.

V=4x³-99x²+602x	V=4x³-99x²+602x
V=4(12.42)³-99(12.48)²+602(12.48)	V=4(4.01)³-99(4.01)²+602(4.01)
V=4(1943.76)-99(155.75)+7512.96	V= 4(64.48)-99(16.08)+2414.02
V=7775.04-15419.25+7512.96	V= 257.92-1591.92+2414.02
V= 15288-15419.25	V= 2671.94-1591.92
V= -131.25	V=1080.02

Problemario (Solución de problemas de Optimización)

1.-Método de prueba y error

Derivada: buscar las variaciones de cualquier tipo de función

                                                      y

 x

P=200m

2x+2y= 200 

2y=200-2x

Y=200-2x/2

Y=100-x

Derivar la función 100x-x²

      

Y=100-50

Y=50

100=2x

100/2=x

X=50

2.-Se desea diseñar un tinaco cuya capacidad sea de 5000 lts. ¿Cuáles deberán de ser las dimensiones de tinaco para que el material empleado en el mismo sea el mínimo?

1000 lt = m³         1lt = dm³ V= 5m³ V= (Abase)(h) V= π.x².y π.x².y= 5 y= 5/ π.x² M= A base+ A envolvente M= πx²+2πxy M= πx²+5πx (5/ πx²) M= πx²+10/x 1.-    Derivar la función 2.-   Se iguala a cero y resolver el valor de “x” X= 1.1675m ME= (1.1675m)²+2 (1.1675m) (1.1676m) ME= 4.2821m²+8.5650m² ME= 12.84m² 3.- ¿Cuáles serán las dimensiones de un cilindro si ocupamos también su  tapa?     M= A base+ A envolvente M= 2πx²+2 πxy M= 2 πx²+2 πx (5/ πx²) M= 2 πx²+ 10/x 1.    Derivar la función 2πx²+10x-¹ 2.-    Se iguala a “0” y se resuelve el valor de “x”

ME= 2πx²+2πxy

ME= 2π (.9266m)²+2π(.9266m) (1.8536m)

ME= 5.3946+4.9696m²

ME= 16.1863 m²

5.- ¿Cuál es el diseño óptico de un tinaco para el alimento de los animales de un rancho?

V= 2000lts = 2m³

V= (A base)(h)

V=πx²y/2           semicírculo

V= πx²y/2= 2

V= πx²y=4

Y=4/ πx²

   

Semi-perímetro

Sp= πd/2

Sp= π2x/2

Sp= πx

M= πx²+ πx(4/ πx²)

M= πx²+ 4/x

1.- Se deriva la función

2.- igualar a cero

M= πx²+ 4/X

M= π (.8602m)²+4/.8602m

M= 6.9746m²

Granville

1.- Calcular los máximos y mínimos de la función x^3_ 6x²+9x

I.      3x²­^_12x+9

II.    3x^2_12x+9=0

III.   x^2_4x+3=0   
(x^_1) (x^_3)
x^_1=0
x=1
x^_3=0
x=3

x_c1=1
(0)^2_4(0)+3=3                                     +,^_
(1.1)^2_4(1.1)+3= 1.1^_4.4+3= ^_0.19    Máximo

x_c2=3
(2.9)^2_4(2.9)+3= 8.41^_11.6+3= ^_0.19      ^_,+
(3.1)^2_4(2.9)+3= 9.61^_12.4+3= 0.21        Minimo        

IV.  x^3_6x²+9x
(1)^3_6(1)²+9(1)=1^_6+9=4
(3)^3_6(3)²+9(3)=27^_54+27=0

2.- Calcular los máximos y mínimos de la función 2x³+3x²+12x^_4

I.      6x²+6x+12

II.    6x²+6x+12=0

III.   x²+x+2
(x^_1) (x^_2)
x^_1=0
x=1
x^_2=0
x=2

x_c1=1
(0)²+0+2=2                 +,+
(1.1)²+1.1+2=4.31     No hay maximo ni minimo

x_c2=2
(1.9)²+1.9+2=7.51     +,+
(2.1)²+2.1+2=8.51     No hay maximo ni minimo

3.- Calcular los máximos y mínimos de la función x³+2x^2_15x^_20

I.      3x²+4x^_15

II.    3x²+4x^_15=0
(3x^_5) (x+3)
3x^_5=0
x=5/3

x+3=0
x=^_3

x_c1=5/3
3(1)²+4(1)^_15= 3+4^_15= ^_8        ^_,+
3(2)²+4(2)^_15= 12+8^_15= 5       Mínimo

x_c2=^_3
3(^_4)²+4(^_4)^_15= 48^_16^_15= 17    +,^_
3(^_2)²+4(^_2)^_15= 12^_8^_15= ^_11    Máximo

III.   x³+2x^2_15x^_20
(5/3)³+2(5/3)^_15(5/3)^_20= 4.6+3.3^_25^_20= ^_37.1
(^_3)³+2(^_3)^_15(^_3)^_20= ^_27^_6+45^_20= ^_8

4.- Calcular los máximos y mínimos de la función 2x^2_x⁴

I.      4x^_3x³

II.    4x^_3x³=0

III.                   x^_x³=0
x(1^_x²)=0

x=0
x=_1
x=1

x_c1=0
4(-5)^_3(^_5)³= (^_)      
4(5)^_3(5)³= (+)      Mínimo

x_c2=^_1
4(^_1.5)^_3(^_1.5)³= ^_6+10.125= 4.125   +,^_
4(^_0.5)^_3(^_0.5)³= ^_2+0.375= ^_1.625   Máximo

x_c3=1
4(0.5)^_3(0.5)³⁼ 2^_0.375= 1.625     +,^_
4(2)^_3(2)³= 8^_24= ^_16                  Máximo

5.- Calcular los máximos y mínimos de la función x^5_5x⁴

I.      5x^4_20x³

II.    5x^4_20x³=0

III.   x^4_4x³=0
x³(x^_4)=0

x₁=0
x₂=0
x₃=0
x₄=4

x=0
5(^_1)^4_20(^_1)³= 5+20= 25   +,^_
5(1)^4_20(1)³= 5^_20= ^_15     Máximo

x=4
5(3)^4­_20(3)³= 405^_540= ^_135      ^_,+
5(5)^4_20(5)³= 3125^_2500= 625   Minimo

IV.  x⁵-5x⁴
(0)^5_5(0)⁴= 0
(4)^5_5(4)4= 1024^_1280= ^_256

Ejercicios de Maximos y Minimos

1.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución:

Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos.

Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado.

2.- Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y = x2 − 4x + 7 .

3.- Investigar los máximos y mínimos de la función y = x3 − 3x2 − 9x + 15

4.- Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cause de un río. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

5.- Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por sus cuatro lados. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

Resolver:

1. f(x) = x³ − 3x + 2

2.- 2x²−3

3.- x³-3x²-2

4.- f(x)= -8x² – 64x + 3

5.- f(x)=x³-4x²+5x-1

Introducción al Calculo Integral

También llamado anti-derivación. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Barrow junto con los aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral el cual propone que derivación y la integración son procesos inversos.

Por lo tanto para poder integrar, necesitas conocer primero sobre cálculo diferencial, te recomendamos la siguiente página, ah podrás encontrar fórmulas, procesos, tutoriales, calculadora, entre muchas otras cosas:

https://sites.google.com/site/laskarlas/classroom-news/formulas/calculo-integral

Conoce y aprende más sobre calculo integral en la página siguiente:

http://vamosaintegrar.wordpress.com/